P1641 [SCOI2010]生成字符串

发表于

闲扯

很有价值的一道题，其中的模型转化值得借鉴。

题面

P1641 [SCOI2010]生成字符串

Solution

我们将问题转化一下，我们将选中一个 $1$ 看做在网格图上向右上方走一步，选中一个 $0$ 看做是向右下方走一步。

最后我们要求的就是从 $(0,0)$ 走 $n+m$ 步，走到 $(n+m,n-m)$ 的方案数。

但是我们还有一个条件：对任意前 $k$ 个字符， $1$ 的个数不少于 $0$ 的个数。

这相当于是我们不能经过 $y=-1$ 这条线。

所以我们考虑容斥，用总方案数减去经过了 $y=-1$ 的方案数。

那么问题就变成了怎么算经过了 $y=-1$ 的方案数。

我们根据对称性可以发现，从 $(0,0)$ 开始走到 $(x,-1)$ 所需的步数相当于是从 $(0,-2)$ 走到 $(x,-1)$ 的步数。（将原来的向右上走变为向左下走，向左下走变为向右上走）

我们可以发现，这样的话， $1$ 的个数多了 $1$ ， $0$ 的个数少了 $1$ （只有第一次到 $y=-1$ 的时候变了 $1$ ），所以我们相当于求从 $(0,-2)$ 开始，走 $n+m$ 步，走到 $(n+m,n-m)$ 的方案数。

这样我们是可以保证一定经过了 $y=-1$ 这条线的。

所以最后的方案数就是 $C_{n+m}^m-C_{n+m}^{m-1}$ 。

Code

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#include<bits/stdc++.h>
#define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
#define ll long long
#define inl inline
#define il inl void
#define it inl int
#define ill inl ll
#define re register
#define ri re int
#define rl re ll
#define mid ((l+r)>>1)
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
template<class T>il read(T &x){
	int f=1;char k=getchar();x=0;
	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
	x*=f;
}
template<class T>il _print(T x){
	if(x/10) _print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<class T>il print(T x){
	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
	_print(x);
}
ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
it qpow(int x,int m,int mod){
	int res=1,bas=x;
	while(m){
		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
	}
	return res;
}
const int MAXN = 1e6+5,mod = 20100403;
int n,m,fac[MAXN<<1];
it add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
it mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
it inv(int x){return qpow(x,mod-2,mod);}
it C(int n,int m){return mul(fac[n],mul(inv(fac[m]),inv(fac[n-m])));}
int main(){
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	read(n),read(m),fac[1]=1;
	for(ri i=2;i<=n+m;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	printf("%d",add(C(n+m,m),mod-C(n+m,m-1)));
	return 0;
}